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引言

了解了关于二次型的基本概念以及梳理了矩阵三大关系后，我们继续往后学习二次型的内容。

一、二次型的基本概念及其标准型 1.2 基本定理

定理 1 —— （标准型定理）任何二次型XTAX\pmb{X}^T\pmb{AX}XTAX 总可以经过可逆的线性变换X=PY\pmb{X=PY}X=PY ，即P\pmb{P}P 为可逆矩阵，把二次型f(X)f(\pmb{X})f(X) 化为标准型，即f(X)=YT(PTAP)Y=l1y12+l2y22+⋯+lmym2,f(\pmb{X})=\pmb{Y}^T(\pmb{P}^T\pmb{AP})\pmb{Y}=^2+^2+\cdots+^2,f(X)=YT(PTAP)Y=l1​y12​+l2​y22​+⋯+lm​ym2​, 其中mmm 为标准型中非零系数的个数。

定理 2 —— （惯性定理）二次型的标准型的系数中，正、负系数的个数保持不变，分别称为二次型的正、负惯性指数。

定理 3 —— （矩阵合同定理）设A,B\pmb{A,B}A,B 为nnn 阶实对称矩阵，则A≃B\pmb{A\simeq B}A≃B 的充分必要条件是A,B\pmb{A,B}A,B 的特征值中正、负及零的个数相同。

从这个角度也可以理解昨天那篇文章中，为什么实对称矩阵相似一定合同。因为相似的话特征值都一样了，自然正、负及零的个数相同；反之，合同的话，只是个数相同，不能推出特征值相同。

定理 4 —— 对二次型f(x1,x2,⋯ ,xn)=XTAX(AT=A)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\pmb{X^TAX(A^T=A)}f(x1​,x2​,⋯,xn​)=XTAX(AT=A) ，一定存在正交矩阵Q\pmb{Q}Q ，使得经可逆线性变换X=QY\pmb{X=QY}X=QY 后，有XTAX=YT(QTAQ)Y=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2,\pmb{X^TAX=Y^T(Q^TAQ)Y}=\^2+\^2+\cdots+\^2,XTAX=YT(QTAQ)Y=λ1​y12​+λ2​y22​+⋯+λn​yn2​, 其中，λ1,λ2,⋯ ,λn\,\,\cdots,\λ1​,λ2​,⋯,λn​ 为矩阵A\pmb{A}A 的特征值。

1.3 二次型标准化方法 1. 配方法

即通过配方的方法，把二次型化为若干部分的平方和与差，然后进行变换的方法。

如：设f(x1,x2,x3)=x12+2x22−5x32−2x1x2+2x2x3=XTAXf(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-5x_3^2-+=\pmb{X^TAX}f(x1​,x2​,x3​)=x12​+2x22​−5x32​−2x1​x2​+2x2​x3​=XTAX ，其中A=[1−10−12101−5],X=[]\pmb{A}=\begin{} 1 & -1 & 0\\ -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -5 \end{},\pmb{X}=\begin{} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{}A=​1−10​−121​01−5​​,X=​x1​x2​x3​​​ ，配方得f(x1,x2,x3)=x12+2x22−5x32−2x1x2+2x2x3=(x1−x2)2+(x2−x3)2−6x32,f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-5x_3^2-+=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2-6x_3^2,f(x1​,x2​,x3​)=x12​+2x22​−5x32​−2x1​x2​+2x2​x3​=(x1​−x2​)2+(x2​−x3​)2−6x32​, 令x1−x2=y1,x2−x3=y2,x3=y3x_1-x_2=y_1,x_2-x_3=y_2,x_3=y_3x1​−x2​=y1​,x2​−x3​=y2​,x3​=y3​ ，即有x1=y1+y2−y3,x2=y2−y3,x3=y3x_1=y_1+y_2-y_3,x_2=y_2-y_3,x_3=y_3x1​=y1​+y2​−y3​,x2​=y2​−y3​,x3​=y3​ ，用矩阵形式表达，即X=PY\pmb{X=PY}X=PY ，其中P=[11−101−1001],Y=[]\pmb{P}=\begin{} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{},\pmb{Y}=\begin{} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{}P=​100​110​−1−11​​,Y=​y1​y2​y3​​​ 。作可逆线性变换X=PY\pmb{X=PY}X=PY ，使得f(x1,x2,x3)=y12+y22−6y32.f(x_1,x_2,x_3)=y_1^2+y_2^2-6y_3^2.f(x1​,x2​,x3​)=y12​+y22​−6y32​.

2. 正交变换法

即利用定理 4 ，把二次型标准化。其基本步骤如下：

（1）由特征方程∣λE−A∣=0|\ \pmb{E-A}|=0∣λE−A∣=0 ，求出矩阵A\pmb{A}A 的特征值λ1,λ2,⋯ ,λn\,\,\cdots,\λ1​,λ2​,⋯,λn​ ；

（2）求出方程组(λiE−A)X=0(i=1,2,⋯ ,n)(\\pmb{E-A})\pmb{X}=\pmb{0}(i=1,2,\cdots,n)(λi​E−A)X=0(i=1,2,⋯,n)（重特征值只代一次）的基础解系，从而获得矩阵A\pmb{A}A 的线性无关的特征向量ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\pmb{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n}ξ1​,ξ2​,⋯,ξn​ ；

（3）将ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\pmb{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n}ξ1​,ξ2​,⋯,ξn​ 进行施密特正交化（只在重特征值对应的线性无关的特征向量内部进行）和规范化，得到矩阵A\pmb{A}A 的两两正交规范的特征向量γ1,γ2,⋯ ,γn\pmb{\,\,\cdots,\}γ1​,γ2​,⋯,γn​ ；

（4）令Q=(γ1,γ2,⋯ ,γn)\pmb{Q}=(\pmb{\,\,\cdots,\})Q=(γ1​,γ2​,⋯,γn​) ，则Q\pmb{Q}Q 为正交矩阵，且QTAQ=[λ1⋱λn]\pmb{Q^TAQ}=\begin{} \ & & \\ & \ddots & \\ & & \ \end{}QTAQ=​λ1​​⋱​λn​​​ ；

（5）作正交变换X=QY\pmb{X=QY}X=QY ，则f(x1,x2,⋯ ,xn)=XTAX⟹YT(QTAQ)Y=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\pmb{X^TAX\ Y^T(Q^TAQ)Y}=\^2+\^2+\cdots+\^2f(x1​,x2​,⋯,xn​)=XTAX⟹YT(QTAQ)Y=λ1​y12​+λ2​y22​+⋯+λn​yn2​

1，采用正交变换法化标准型时，标准型的系数一定为矩阵A\pmb{A}A 的特征值。配方法则不一定，但是系数中正、负系数的个数是唯一的。

2，二次型的规范型是唯一的。

3，正交变换不改变向量的长度，即Q\pmb{Q}Q 为正交矩阵，且向量X,Y\pmb{X,Y}X,Y 满足X=QY\pmb{X=QY}X=QY ，则有∣X∣=∣Y∣|\pmb{X}|=|\pmb{Y}|∣X∣=∣Y∣ 。因为∣X∣2=XTX=(QY)TQY=YT(QQ)Y=YTY=∣Y∣2|\pmb{X}|^2=\pmb{X}^T\pmb{X}=(\pmb{QY})^T\pmb{QY}=\pmb{Y}^T(\pmb{Q}\pmb{Q)\pmb{Y}}=\pmb{Y}^T\pmb{Y}=|\pmb{Y}|^2∣X∣2=XTX=(QY)TQY=YT(QQ)Y=YTY=∣Y∣2 ，∣X∣,∣Y∣>0\pmb{|X|,|Y|}>0∣X∣,∣Y∣>0 ，故∣X∣=∣Y∣|\pmb{X}|=|\pmb{Y}|∣X∣=∣Y∣ 。

写在最后

先到这吧，慢慢来，做点题目巩固下。下一篇文章我们来学习关于正定矩阵的内容。