数字在计算机中的表示怎么表示整数？

我们知道在计算机中，所有的数据都是以二进制的形式存储的，而我们日常使用的数都是十进制，所以数据存储时我们需要进行进制转换（进制转换的方法在数学上叫做除 k 取余法，科学计数法的逆运算），比如：

我们实际编写的变量是：9，那么在计算机中存储时，需要将十进制转换为二进制，也就是：1001。

怎么表示负数？

通过进制转换我们可以存储整数了，那么计算机又如何存储负数呢？

其实这个问题也简单，我只要定一个规定，规定某一个位为符号位即可（一般规定最高位是符号位），0 表示正数，1 表示负数，那么就可以表示负数了。

比如：-9，在计算机中存储时，需要将十进制转换为二进制，也就是：1001，然后再增加一位符号放在最高位，那么也就是：11001。

到这里矛盾就开始出现了，目前我们认为 11001 是 -9，那疑问来了，15 又该如何表示？

你可能会说，这个简单，用 011001 表示即可。这样咋一看是没有什么问题，但其实存在一个很大的问题，那就是位数不固定。看过一些黑客电脑图片的朋友可能会有感受，像这种满屏的 01 代码：

所以把 -9 和 15 放在一起，那就是 11001011001，你还能分得出来吗？

所以这里需要引出一个叫做字节的概念，也就是组（单元）的概念（八位一组）。所以假如采用一个字节来存储的话，那么 -9 和 15 就应该是 1001 1001 和 0001 1001，这样再放到一起 1001 1001 0001 1001，我只要八个八个地分，自然就能区分开了。

一个字节的缺陷也很明显，最大也就只能表示 0111 1111 127，至于 128、129 等更大的数无法表示了（数据溢出）。所以我们一般采用多个字节来表示一个数，但肯定也不是越多越好，多了浪费内存。

在 C 语言中，int 使用 4 个字节，long 使用 8 个字节（在 32 位操作系统上也可能是 4 个字节）。

怎么表示小数（分数）？

前面我们已经可以存储所有的正负整数了，那么还差小数，我们就能存储所有的实数（数轴上所有的点）。

其实在计算机中想表示小数也很简单，那就是实现科学计数法。

前面我们加了一位用来表示符号，接下来我们只需要在加几位来作为指数位即可。

既然采用科学计数法，那么就是整数和小数共同组成尾数部分，再通过指数来分隔整数和小数（指数也就是记录小数点的位置）。

那么由于尾数位置有限（JavaScript 中，尾数占 52 位），也就是意味着小数存储越多，整数就存储越少，反之亦然。

我们知道十进制中 0.5 表示 05/10，那么同样的在二进制中 0.1 表示 01/10，也就是 1/2（0.5）。同样的在二进制中 1.1 表示 11/10，也就是 3/2（1.5）；1.01 表示 101/100，也就是 5/4（1.25）。

其实我们使用二进制来表示小数，分母都是 2 的幂，那么如果十进制中分母不是 2 的幂，在转化过程中就会出现无限循环小数。比如：十进制的 0.1 转化成二进制就会出现循环小数 0.000110011001100110011001100110011...，而 0.875 则不会，结果为 0.111。

那么结合有些数据进制无法完全转化导致无限循环或不循环小数，我们在运算时放任小数的位数不管（不控制保留几位），会不会出问题呢？这个可能要看具体语言怎么去实现（一般来说都是保留高位舍弃低位）。

JavaScript 中数字的表示

学过 C 语言的朋友应该知道在 C 语言中，数字从大体上分有两种：整型和浮点型。

根据我们可以发现：

The Number type has exactly values(2^64 - 2^53 + 3), representing the double-precision 64-bit format IEEE 754-2019 values as specified in the IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic.

也就是说 JavaScript 中，Number 采用的是 64 位的 IEEE 754 标准来表示数字的。其实 IEEE 754 标准也就是规定了：一个数字由符号位、指数位和尾数位三部分组成（科学计数法），然后根据你的存储内存大小，给你每个部分约定不同的字节长。

我们先看一下 IEEE 754 标准中规定的关于 32 位浮点型各个位的含义：

所以在 JavaScript 中，第一位表示符号位（0 正，1 负），接下来的 11 位表示指数，剩下的 52 位表示尾数（从高位到低位）。

值得一提的是：在 JavaScript 中，如果一个数很小很小，那么 JavaScript Number 会自动采用科学计数法表示。

了解了前面的数字表示，关于 JavaScript 中的这两个问题，我们就很好理解了。

数字安全问题（数据溢出）

在 JavaScript 中，我们知道最大安全整数是 Number.MAX_SAFE_INTEGER，9xx 16 位数字。只要总数（整数+小数）不超过这么多，就不会数据溢出。如果总数超过了这么多，JavaScript 选择的方式丢弃末尾小数（也就是我们常说的浮点数运算的精度丢失的问题）。

为什么说是不安全的，而不是直接说是错误的？

举个例子：

const a = Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1; // 9007199254740992
const b = Number.MAX_SAFE_INTEGER + 2; // 9007199254740992
const c = Number.MAX_SAFE_INTEGER + 3; // 9007199254740994
// ...

我们看上面的例子，可以发现 a、c 的计算结果是正确的，而 b 的计算结果是错误的。接下了我们可以来分析一下：

我们知道 Number.MAX_SAFE_INTEGER（9007199254740991） 其实就是 11...(省略50个1，共52位)，那么 +1 的结果就是：100...(省略50个0，共53位)，此时位数超过了尾数能够存储的最大位数（52），JavaScript 进行尾数舍弃，并且进行指数 +1，所以此时最终的计算结果没有错误。

同理，b 的计算结果错误是因为结果为 100...(省略49个0，共53位)...1，也就是末尾是 1，而由于被舍弃了，自然运算结果是 9007199254740992。而 c 自然就是指数 +2 了。

所以当超出 Number.MAX_SAFE_INTEGER, 也就是尾数位数用尽，计算有可能正确，也可能不正确，也称之为不安全。

数字精度问题

产生精度丢失问题有两种情况：

小数转化成二进制出现了循环小数

0.1 + 0.2 !== 0.3

这个问题的成因在 怎么表示小数（分数）？ 中有详细描述。

尾数（整数+小数）超过了 16 位，导致了末尾小数丢失

大数 + 小数可能会导致小数丢失，比如：

这个因为当尾数总位数超过 16 位时，JavaScript 会默认丢弃末尾多出的小数。

解决方案

清楚了精度问题的产生原因，那么解决思路自然就很清晰了，其实无外乎就两种：要么消除误差，要么接受误差。

消除误差

既然我们前面已经知道误差产生的根源来自于两个因素：进制转换 和 尾数位置有限。所有消除误差的思路也很简单，一方面是采用不定长的 String 类型存储，另一方面是实现十进制的模拟运算实现。

接受误差

在一定精度范围内，可以接受。这就跟我们购买商品的时喜欢抹零是一个道理。那么虽然进制转换会导致一定的数据误差，但是只要在一点误差范围内，我们就认为这个数据是一个有效的数据。

比如 0.1 + 0.2 === 0.3，如果让这个等式成立呢？那么我就设置一个精度，如果在这个精度之外的数值，我们就认为是误差值，通过去除误差值之后再进行比较。

为什么我们平时更喜欢第二种方案？

使用 number 运算只用算一次，而自己实现十进制运算则需要算多次。

工作中实际遇到的问题，以及我的解决策略消除小数设备数据处理相关

之前做机械设备数据采集时，遇到了数据溢出问题。但是由于底层设备（PLC）他们舍弃了小数（比如使用 cm，而不是 m 来作为物料长度单位），这样不会遇到精度问题，但是很容易遇到大数问题（也就是数据溢出问题）。

对于这个问题其实也很好解决，直接使用 JavaScript 的 即可。不过需要注意的是：在运算时，需要将相关操作数全部转换成 BigInt 类型，在展示和传输时，转换成 String 类型（像一些进程通信是需要 stringify 序列化）。

金额相关

我们知道跟钱打交道，如果系统只有一种币种，那么我们使用前面的方案（舍弃小数）是可行的，比如人民币最小单位是分，我们只需要全部用分表示，系统中就没有小数。

但是只要一旦涉及多币种，涉及到汇率，小数可能就不好消除了（理论上也可以将汇率拦截在系统对外接口处，这样就可以保证我们系统内部数据的纯净；如果有多币种原始数据，那就无法消除小数了，比如一个存款机，我既要往里面存入人民币，又要往里面存美元，这时候如果我们选择强行消除小数，这会导致原始数据丢失，比如我就是无法知道他到底存了多少美元）。

不过如果整数位数太多，比如达到了 15 位，那么这时即使我们想保留 2 位小数都无法保留两位小数。

NaN 怎么产生的（numeral 库的 BUG）？

numeral 库 这个库存在的一个 BUG，当我们使用科学计数法的时候，会与该库的取实现去除多余小数的方式有冲突，该库使用转化成科学计数法来实现小数点右移，再进行取整，最后小数点左移，实现保留 xx 位小数。其实直接使用乘以 power 实现小数点右移就能解决这个 BUG，如下：

总结

实际上在运算中加入 toFixed 操作对于数据运算没有任何帮助（无论是数据安全还是精度缺失），数据该溢出还是会溢出，而对于精度，只会导致精度进一步下降。实际上，toFixed 只能用于格式化一下数据，让数据在展示的时候看起来更好看，仅此而已。

运算结果总数字 超过了16 位数字（十进制，准确来说是二进制超过了 52 位），此时就会丢末尾数字。小数丢了我们一般称作精度缺失，而整数丢了我们一般称作数据溢出。

参考