集合1. 交集（Intersection） A∩BA \cap BA∩B：2. 并集（Union） A∪BA \cup BA∪B：3. 差集（Difference） ∖B \setminus B∖B：4. 补集（Complement） AcA^cAc：5. 对称差（Symmetric Difference） A△BA \triangle BA△B：6. 笛卡尔积（Cartesian Product） A×BA \times BA×B：什么是命题公式？举例说明如何判断一个公式为永真式真值表常用推导公式1. 交换律 (Commutative Law)2. 结合律 (Associative Law)3. 分配律 (Distributive Law)4. 德摩根律 (De Morgan’s Law)5. 双重否定律 (Double Negation Law)6. 吸收律 (Absorption Law)7. 恒等律 (Identity Law)8. 零律 (Domination Law)9. 排中律 (Law of Excluded Middle)10. 矛盾律 (Law of Contradiction)11. 蕴含的等价形式 (Implication Law)12. 对合律 (Involution Law)13. 条件律 (Implication Law)什么是“主范式”，包括主合取范式和主析取范式。主合取范式（Conjunctive Normal Form, CNF）：是用“与” (∧) 连接多个“或” (∨) 表达式的范式。每个子表达式称为析取式。例如：(P∨Q)∧(¬P∨R)主析取范式（Disjunctive Normal Form, DNF）：是用“或” (∨) 连接多个“与” (∧) 表达式的范式。每个子表达式称为合取式。例如：(P∧Q)∨(¬P∧R)例子连结词完备集等价关系等价关系的定义：

自反性：对于集合中的任意元素 a，都有 aRa。换句话说，任何一个元素都与自身有关系。

对称性：如果 aRb，那么 bRa 也成立。即，如果 a 和 b 之间有关系，那么 b 和 a 之间也有相同的关系。

传递性：如果 aRb 并且 bRc，那么 aRc 也成立。换句话说，关系可以通过中间元素传递。

偏序关系自反性：对于任何元素 a，总是 a≤a反对称性：如果 a≤b 且 b≤a，则 a=b。传递性：如果 a≤b 且 b≤c，则 a≤c如何在集合上定义偏序关系

选择集合：选择一个集合 A，例如 A={1,2,3}。

定义关系：在集合 A上定义一个符合自反性、反对称性和传递性的二元关系。比如可以定义一个“≤\leq≤”关系：

关系可以写为：

R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}

全序关系自反性：对于任何元素 a，总是 a≤a反对称性：如果 a≤b 且 b≤a，则 a=b。传递性：如果 a≤b 且 b≤c，则 a≤c全性（Totality 或 Comparability） ：对于集合中的任意两个元素 a 和 b，要么 a≤b，要么 b≤a（即，所有元素都是可以比较的）全序关系与偏序关系的区别：对称关系反自反关系

对于任何a∈A,⟨a,a⟩∉R

例子：在集合 A={1,2,3} 上，如果 R={⟨1,2⟩,⟨2,3⟩}，则 R 是反自反关系，因为没有任何元素与自身存在关系。

成真指派

-命题公式的成真指派”指的是一种逻辑公式在特定的命题变元取值下是否为“真”。每一个命题变元（例如 P、Q、R）在逻辑上可以有两个值：真（1）或假（0）。成真指派就是那些使得整个命题公式结果为真的命题变元的取值组合。

例如：

考虑命题公式 (P∧Q)→R

如何理解公式：

(P∧Q)→R 这个公式可以逐步解释为：

如何寻找成真指派：

我们需要找到那些使得整个公式为 真的 取值组合。也就是，找出哪些 P、Q、R 的组合可以使公式 (P∧Q)→R 的结果为真。

我们来看看不同的指派组合对公式 (P∧Q)→R的影响：

PQRP∧Q(P∧Q)→R

总结：

因此，成真指派是所有使公式结果为真的那些 P、Q、R 的取值组合。对于本公式，成真指派是所有组合除了 110 这一种。

为什么“前提为假”时整个条件命题为真？

在经典逻辑中，条件命题 P→Q 的定义是基于真值表的。这个定义规定了当 P 为假时，P→Q 总是为真。这个规则的目的是保证逻辑系统的“完备性”和一致性，使得推理可以正常进行。

其逻辑基础是这样的：

定义域（Domain）

因此，定义域限制了函数的输入值，确保只有合理的输入才能使用函数计算，防止无意义或错误的结果出现。

值域（Range）陪域（Codomain）

1.假设我们有一个函数f(x)=x+1，并且定义域为1,2,3。2.定义域：输入可以是1,2,3。3.通过代入f(1),f(2),f(3)，得到的输出分别是2,3,4。4.所以，这个函数的值域是2,3,4。\begin{align} \ 1. & 假设我们有一个函数 f(x)=x+1，并且定义域为 {1,2,3}。\\\ 2. & 定义域：输入可以是 1,2,3。\\\ 3. & 通过代入 f(1),f(2),f(3)，得到的输出分别是 2,3,4。\\\ 4. & 所以，这个函数的值域是 {2,3,4}。\\\end{align}1.2.3.4.​假设我们有一个函数f(x)=x+1，并且定义域为1,2,3。定义域：输入可以是1,2,3。通过代入f(1),f(2),f(3)，得到的输出分别是2,3,4。所以，这个函数的值域是2,3,4。​​

假设f(x)=x2，定义域是所有整数(Z)，即输入值可以是−3,−2,−1,0,1,2,3等等。∗定义域∗：Z（所有整数）∗值域∗：0,1,4,9,16,25,...（所有非负整数，因为平方后的值总是非负的） 假设 f(x)=x^2，定义域是所有整数 (\mathbb{Z})， 即输入值可以是−3,−2,−1,0,1,2,3等等。\\ *定义域*：\mathbb{Z}（所有整数）\\ *值域*：{0,1,4,9,16,25,...}（所有非负整数，因为平方后的值总是非负的）假设f(x)=x2，定义域是所有整数(Z)，即输入值可以是−3,−2,−1,0,1,2,3等等。∗定义域∗：Z（所有整数）∗值域∗：0,1,4,9,16,25,...（所有非负整数，因为平方后的值总是非负的）

单射（Injection 或 One-to-one）

定义：如果对于任意的两个不同元素x1和x2​在定义域中，f(x1)≠f(x2)，那么这个函数就是单射。 定义：如果对于任意的两个不同元素 x1 和 x2​ 在定义域中，f(x1)≠f(x2)，那么这个函数就是单射。 定义：如果对于任意的两个不同元素x1和x2​在定义域中，f(x1)=f(x2)，那么这个函数就是单射。

例子：函数f(x)=x+1是单射，因为不同的x值对应不同的f(x)值。例子：函数 f(x)=x+1 是单射，因为不同的 x 值对应不同的f(x) 值。例子：函数f(x)=x+1是单射，因为不同的x值对应不同的f(x)值。

满射（Surjection 或 Onto）双射（Bijective）常见公式符号

∃y读作“存在某个y”，意思是“有一个y满足后面的条件”。∀x读作“对于所有的x”，意思是“对于每一个x都满足后面的条件”。mod:一个数学运算，表示**取余数**。它的含义是：将数字a除以m，结果是余数。*∗幂集P(A)∗∗是指一个集合A的所有∗∗子集∗∗的集合∗∗函数的关键要求∗∗：∗∗定义域中的每一个元素必须映射到值域中的某一个元素∗∗。但是，值域中的每一个元素不一定必须被映射到。R:表示实数集，即所有实数的集合。包括正数、负数、零、小数、分数等。Z:表示整数集，包括正负整数和零。Q:有理数集，包括可以表示为分数a/b的数，其中a和b都是整数且b≠0C:复数集，包括所有实数和虚数Rn:复数集，包括所有实数和虚数N:n−维实数空间，表示由n个实数组成的有序元组（或向量）\begin{align} &\text ∃y 读作“存在某个 y”，意思是“有一个 y 满足后面的条件”。\\&\text ∀x 读作“对于所有的 x”，意思是“对于每一个 x 都满足后面的条件”。\\ \\&{mod}: \text{一个数学运算，表示**取余数**。它的含义是：将数字 a 除以 m，结果是余数。} \\ \\&\text **幂集 P(A)** 是指一个集合 A 的所有**子集**的集合\\&**函数的关键要求**：**定义域中的每一个元素必须映射到值域中的某一个元素**。

但是，值域中的每一个元素不一定必须被映射到。\\ \\\mathbb{R} &: \text{表示实数集，即所有实数的集合。包括正数、负数、零、小数、分数等。} \\ \mathbb{Z} &: \text{表示整数集，包括正负整数和零。} \\ \mathbb{Q} &: \text{有理数集，包括可以表示为分数 a/b 的数，其中 a 和 b 都是整数且} b≠0 \\ \mathbb{C} &: \text{复数集，包括所有实数和虚数} \\ \mathbb{R^n} &: \text{复数集，包括所有实数和虚数} \\ \mathbb{N} &: n-维实数空间，表示由 n 个实数组成的有序元组（或向量） \\ \end{align} RZQCRnN​∃y读作“存在某个y”，意思是“有一个y满足后面的条件”。∀x读作“对于所有的x”，意思是“对于每一个x都满足后面的条件”。mod:一个数学运算，表示**取余数**。它的含义是：将数字a除以m，结果是余数。*∗幂集P(A)∗∗是指一个集合A的所有∗∗子集∗∗的集合∗∗函数的关键要求∗∗：∗∗定义域中的每一个元素必须映射到值域中的某一个元素∗∗。但是，值域中的每一个元素不一定必须被映射到。:表示实数集，即所有实数的集合。包括正数、负数、零、小数、分数等。:表示整数集，包括正负整数和零。:有理数集，包括可以表示为分数a/b的数，其中a和b都是整数且b=0:复数集，包括所有实数和虚数:复数集，包括所有实数和虚数:n−维实数空间，表示由n个实数组成的有序元组（或向量）​​

e 是一个数学常数,

e的定义有很多种方式，其中一种常见的定义是通过极限来定义的：e=lim⁡n→∞(1+1n)n这意味着当n趋向于无穷大时，表达式(1+1n)n的极限值就是e。另一个等价的定义来自微积分中的∗∗自然对数函数∗∗和∗∗指数函数∗∗，即函数ex的导数在x=0处等于1，或者说：ddxex=ex这是一个重要的特性，使得e在微积分中的应用极为广泛。e 的定义有很多种方式，其中一种常见的定义是通过极限来定义的：\\e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \\这意味着当 n 趋向于无穷大时，表达式 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n 的极限值就是 e。\\另一个等价的定义来自微积分中的**自然对数函数**和**指数函数**，即函数 e^x 的导数在 x=0 处等于 1，或者说：\\\frac{d}{dx} e^x = e^x \\这是一个重要的特性，使得 e 在微积分中的应用极为广泛。e的定义有很多种方式，其中一种常见的定义是通过极限来定义的：e=n→∞lim​(1+n1​)n这意味着当n趋向于无穷大时，表达式(1+n1​)n的极限值就是e。另一个等价的定义来自微积分中的∗∗自然对数函数∗∗和∗∗指数函数∗∗，即函数ex的导数在x=0处等于1，或者说：dxd​ex=ex这是一个重要的特性，使得e在微积分中的应用极为广泛。

半群（Semigroup）

半群是一个集合和一个二元运算组成的代数结构。半群满足的条件是：

幺半群（Monoid）简单例子：群（Group）简单例子：交换群（Abelian Group）简单例子：群、幺半群、半群的比较：图论图的基本组成：顶点（Vertex） ：图中的点，用来表示一个个体或对象，常用字母 VVV 表示顶点集。边（Edge） ：连接两个顶点的线段，表示两个对象之间的关系，常用字母 EEE 表示边集。图的类型：1. 无向图（Undirected Graph） ：2. 有向图（Directed Graph） ：无向图和有向图的区别：3. 完全图（Complete Graph） ：度数（Degree） ：例子：

假设有一个无向图 G，包含 4 个顶点 {1,2,3,4}，并且顶点之间的边集为 {{(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)\{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1){(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}。这个图的边没有方向，因此是一个无向图。这个图的每个顶点都有 2 条边与其他顶点相连，表示度数为 2。

如何计算无向图中的边数？

在无向图中，如果每个顶点的度数已知，总边数可以通过下面的公式计算：

边数=顶点的总度数2\text{边数} = \frac{\text{顶点的总度数}}{2}边数=2顶点的总度数​

对于有 n 个顶点的无向图，完全图的总边数可以通过以下公式计算：

总边数=n(n−1)2\text{总边数} = \frac{n(n-1)}{2}总边数=2n(n−1)​

因为每条边会连接两个顶点，所以度数的总和会是边数的两倍。

有向图中的出度和入度

在有向图中，每条边都有一个明确的方向，这意味着每条边有一个起点和一个终点。所以：

举个例子：

设有向图 G 由 4 个顶点 {A,B,C,D}\{A, B, C, D\}{A,B,C,D} 和以下有向边组成：

这个图可以画成：

rust
复制代码
A --> B --> D
 \     ^
  \   /
   -> C --> D

总边数=所有顶点的出度之和\text{总边数} = \text{所有顶点的出度之和}总边数=所有顶点的出度之和

组合数学组合数学的两大基本概念：排列（Permutation）：排列关注的是如何排列集合中的元素，顺序很重要。

举个例子，如果我们要从 3 个字母 A,B,C中排列 2 个字母，那么不同排列可能是 AB,AC,BA,BC,CA,CB 顺序不同，排列也不同。组合（Combination）：组合关注的是如何从集合中选择元素，顺序不重要。

比如，从字母 A,B,C中选择 2 个字母，可能的组合是 AB,AC,BC顺序不同的组合只算一种。

在组合数学中，我们常用符号C(n,k)C(n,k)C(n,k)来表示从 nnn 个元素中不考虑顺序地选择 k 个元素的方式数。其计算公式为：

C(n,k)=n!k!(n−k)!C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}C(n,k)=k!(n−k)!n!​

其中，n!n! n!代表 n 的阶乘，意思是 1n×(n−1)×⋯×11n \times (n-1) \times \dots \times 11n×(n−1)×⋯×1。

例子：

假设有 3 个苹果和 2 个橙子，问你从这些水果中选 2 个，有几种不同的选择方式？

解法：使用组合公式：

C(5,2)=5!2!(5−2)!=5×42×1=10C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10C(5,2)=2!(5−2)!5!​=2×15×4​=10

因此，有 10 种不同的选择方式。